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算法、统计与概率

来源：年旅网

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第十章算法、统计与概率

第一节算法初步

1．算法与流程图

(1)算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法．

(2)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．

2．三种基本逻辑结构

(1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．

其结构形式为

(2)选择结构是先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构．其结构形式为

(3)循环结构是指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．

其结构形式为

3．基本算法语句

(1)赋值语句、输入语句、输出语句

赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，输出语句“Print x”表示

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输出的运算结果x.

(2)算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If—Then—Else语句，If A Then B

其格式是Else.

CEnd If

————————

(3)算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现． ①当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示． “For”语句的一般形式为

For I From“初值”To“终值”Step“步长” 循环体 End For

说明：上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.

②不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结构．

当型语句的一般格式是，

直到型语句的一般格式是 .

[小题体验]

1．(教材习题改编)如图所示，算法流程图的输出结果是________．

解析：s＝0，n＝2,2＜8，s＝0＋＝；

22113

n＝2＋2＝4,4＜8，s＝＋＝；

244

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3111

n＝4＋2＝6,6＜8，s＝＋＝；

461211

n＝6＋2＝8,8＜8不成立，输出s的值为. 12答案：

11 12

2．对于如图所示的伪代码，若输入a＝4，则输出的结果为________．

Read a

If a>0 Then a←2a＋3

End Ifb←－aPrint b

解析：∵a＝4>0，∴a＝2×4＋3＝11，b＝－a＝－11. 答案：－11

3．如图所示的伪代码的功能为________________________________________________．

S←1

i←2

While i≤10 S←3i×S i←i＋1End WhilePrint S

解析：当i＝10时，满足条件，执行循环体，S＝32×33×…×310＝3，i＝11，不满足“i≤10”，结束循环，输出S.

答案：计算32×33×…×310的值

1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．

2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．

3．易混淆当型循环与直到型循环．

直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．

[小题纠偏]

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111

1．(2016·扬州中学检测)如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个流程图，则图中

3529①处应填的是________，②处应填的是________．

解析：根据所求式子的分母为1,3,5,7，…，29，得①处应填“n←n＋2”，而1＋＋＋…

351

＋是15个数的和，可知②处应填“i>15”或“i≥16”． 29

答案：n←n＋2 i>15(或i≥16)

2．(2016·镇江名校高三联考)下面伪代码的输出结果为________．

A←8

B←7A←A＋BB←A－B C←A×BA←C

Print A，B

解析：伪代码运行的过程中，A，B，C的值的变化情况为：A＝8，B＝7，A＝15，B＝8，C＝120，A＝120，故输出结果是120,8.

答案：120,8

考点一算法的基本结构重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

5π5π

2cos⊗2tan的值1．定义运算a⊗b为执行如图所示的算法流程图输出的S值，则34为________．

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第1题图第2题图

aa－b，a≥b，

解析：由算法流程图可知，S＝

ba＋1，a5π5π

因为2cos＝1,2tan＝2,1<2，

345π5π

2cos⊗2tan＝2(1＋1)＝4. 所以34答案：4

2．(2015·陕西高考改编)如图所示框图，当输入x为2 006时，输出的y＝________. 解析：x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10. 答案：10

[由题悟法]

解决流程图基本问题的3个常用变量及1个关键点 (1)3个常用变量

①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i←i＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S←S＋i. ③累乘变量：用来计算数据之积，如p←p×i. (2)1个关键点

处理循环结构的流程图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．

[即时应用]

(2016·南京师大附中检测)根据如图所示的流程图回答以下问题：

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(1)该流程图解决的是一个什么问题？

(2)若当输入的x的值为0和4时，输出的f(x)的值相等，则当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为多大？

解：(1)该流程图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题． (2)当输入的x的值为0和4时，输出的f(x)的值相等，即f(0)＝f(4)．

∵f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m， ∴－16＋4m＝0，∴m＝4， ∴f(x)＝－x2＋4x. ∵f(3)＝－32＋4×3＝3，

∴输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3.

考点二算法的交汇性问题(常考常新型考点——多角探明)

[命题分析]

算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是高考的一大亮点．常见的命题角度有： (1)与统计的交汇问题； (2)与函数的交汇问题； (3)与不等式的交汇问题； (4)与数列求和的交汇问题．

[题点全练]

角度一：与统计的交汇问题

1．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A1，A2，A3，A4.如图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法流程图．若图中输出的S＝18，则判断框应填________．

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解析：由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3

＋A4，因此，判断框应填i＜5或i≤4.

答案：i＜5或i≤4 角度二：与函数的交汇问题

2．(2015·山东高考)执行下边的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．

解析：当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13. 答案：13

3．(2016·南京外国语学校检测)如图所示的流程图的输入值x∈[－1,3]，则输出值y的取值范围为________．

解析：由流程图可知，当x∈[0,3]时，输出y的值是函数y＝log2(x＋1)的值，此时输出值y的取值范围为[0,2]；当x∈[－1，0)时，输出y的值是函数y＝2－x－1的值，此时输出值y的取值范围为(0,1]．综上可知，输出值y的取值范围为[0,2]．

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答案：[0,2]

角度三：与不等式的交汇问题

4．执行如图所示的算法流程图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为________．

解析：第一次循环：x＝2，y＝5， |2－5|＝3<8；

第二次循环：x＝5，y＝11， |5－11|＝6<8；

第三次循环：x＝11，y＝23， |11－23|＝12>8.

满足条件，输出的y的值为23. 答案：23

角度四：与数列求和的交汇问题

5．(2015·湖南高考改编)执行如图所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝________.

1解析：第一次循环：S＝，i＝2；

1×3

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第二次循环：S＝第三次循环：S＝11＋，i＝3； 1×33×5

111＋＋，i＝4， 1×33×55×7

满足循环条件，结束循环．故输出S＝3

答案：

[方法归纳]

解决算法交汇问题的3个关键点

(1)读懂算法流程图，明确交汇知识； (2)根据给出问题与算法流程图处理问题； (3)注意流程图中结构的判断．

考点三基本算法语句(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．执行如图所示的伪代码，输出的结果是________．

i←2

While i≤5a←i＋2

i←i＋1

S←2a＋3End WhilePrint S

解析：初始值：i＝2，

2<5，第一次循环：a＝4，i＝3，S＝11； 3<5，第二次循环：a＝5，i＝4，S＝13； 4<5，第三次循环：a＝6，i＝5，S＝15；

5＝5，第四次循环：a＝7，i＝6，S＝17.因为6>5，所以结束循环．输出的结果为17. 答案：17

2．运行如图所示的伪代码，输出的结果为________．

1111111113＋＋＝1－＋－＋－＝. 1×33×55×72335577

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i←3Do

S←4i＋3 i←i＋2 Until i≥10End DoPrint S

解析：当i＝9时，满足条件，执行循环体，S＝4×9＋3＝39，i＝9＋2＝11，判断条件“11≥10”成立，跳出循环，输出39.

答案：39

[由题悟法]

算法语句应用的4个关注点

(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．

(2)赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．

(3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性． (4)循环语句：分清“for”和“while”的格式，不能混用．

[即时应用]

1．运行如图所示的伪代码，则输出的结果是________．

S←1

For I From 1 To 10 Step 3S←S×I End ForPrint S

解析：根据伪代码可得I＝1时，S＝1×1＝1；I＝4时，S＝1×4＝4；I＝7时，S＝4×7＝28；I＝10时，S＝28×10＝280，此时退出循环，输出的S的值为280.

答案：280

2．(2014·无锡期末)已知一个算法如图，则输出结果为________．

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解析：初始值a＝1，b＝1，n＝3.第一次循环：b＝2，a＝1，n＝4；第二次循环：b＝3，a＝2，n＝5；第三次循环：b＝5，a＝3，n＝6；第四次循环：b＝8，a＝5，n＝7；第五次循环：b＝13，a＝8，n＝8；第六次循环：b＝21，a＝13，n＝9；第七次循环：b＝34，a＝21，n＝10；第八次循环：b＝55，a＝34，退出循环，输出b的值为55.

答案：55

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．执行如图所示的算法流程图，若输入的实数x＝4，则输出结果为________．

解析：依题意，输出的y＝log24＝2. 答案：2

2．阅读如图所示的流程图，若输出结果为15，则①处的处理框内应填的是________．

解析：b＝15时，2a－3＝15，a＝9.当a＝9时，2x＋1＝9，x＝3，故应填“x←3”．答案：x←3

3．若运行如图所示的伪代码后输出y的值为9，则应输入的x的值为________．

Read x

If x<0 Then y←x＋12 Print yEnd If

解析：算法表示求函数y＝(x＋1)2，x<0的值，当y＝9时，由(x＋1)2＝9，得x＝－4或2(舍去)．

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答案：－4

4．执行如图所示的算法流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s的取值范围为________．

解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.

函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s∈[3,4]．综上知s∈[－3,4]．答案：[－3,4]

5．执行如图所示的算法流程图，则输出S的值为________．

解析：第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，到此结束循环，输出的S＝－15. 答案：－15

二保高考，全练题型做到高考达标

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1．当下面的伪代码运行后输出结果时，循环语句循环的次数是________．

x←0i←3Do

x←x＋i2

i←i＋3Until i>12End DoPrint x

解析：x＝0，i＝3；x＝9，i＝6；x＝45，i＝9；x＝126，i＝12；x＝270，i＝15，结束循环，循环次数为4.

答案：4

2．(2016·苏州模拟)执行如图所示的算法流程图，输出的S值是________．

ππ2π

解析：由算法流程图可知n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；

444这样依次循环，一直到

π2π3π2 014π

S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos

4444

π2π8ππ2π6πcos＋cos＋…＋cos＋cos＋cos＋…＋cos ＝251444444＝251×0＋＝－1－22＋(－1)＋－2＋0

＋0＋－2222

，n＝2 015. 2

2 2

答案：－1－3．下面伪代码输出的结果是________．

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解析：S＝1＋2＋3＋…＋i，当i＝6时，S＝21<25，继续循环．当i＝7时，S>25，终止循环，此时输出的i＝8.

答案：8

4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．

i←0S←0Doi←i＋2

S←S＋i2Until i≥6End DoPrint S

解析：i＝2时，S＝4；i＝4时，S＝20；i＝6时，S＝56，这时退出循环体，输出S＝56. 答案：56

5．执行如图所示的流程图，已知集合A＝{x|流程图中输出的x的值}，集合B＝{y|流程图中输出的y的值}，全集U＝Z.当x＝－1时，(∁UA)∩B＝________________.

解析：当x＝－1时，输出y＝－3，x＝0；当x＝0时，输出y＝－1，x＝1；当x＝1时，输出y＝1，x＝2；当x＝2时，输出y＝3，x＝3；当x＝3时，输出y＝5，x＝4；

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当x＝4时，输出y＝7，x＝5；当x＝5时，输出y＝9，x＝6，当x＝6时，∵6>5，∴终止循环．

此时A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}， ∴(∁UA)∩B＝{－3，－1,7,9}．答案：{－3，－1,7,9}

6．某算法流程图如图所示，则该程序运行后输出的s值为________．

解析：根据算法流程图，所求的值可以通过逐次循环求得，i＝5，s＝1；i＝4，s＝2×1＋1＝3；i＝3，s＝7；i＝2，s＝15；i＝1，s＝31，循环结束，故输出的s＝31.

答案：31

7．(2016·苏北四市调研)执行如图所示的算法流程图，输出的s是________．

解析：第一次循环：i＝1，s＝1；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6.

答案：－6

8．(2016·无锡模拟)数列{an}满足an＝n，阅读如图所示的算法流程图，运行相应的程序，若输入n＝5，an＝n，x＝2的值，则输出的结果v＝________.

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解析：该算法流程图循环4次，各次v的值分别是14,31,,129，故输出结果v＝129. 答案：129

111

9．求S＝0＋1＋…＋n的值，写出一个算法及伪代码．

222解：算法如下：第一步，i←0；第二步，S←0； 1

第三步，S←S＋i；

2第四步，i←i＋1；

第五步，如果i>n，则输出S，否则，返回第三步．可写出如下伪代码：

或者写出如下伪代码：

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10．(2016·南京调研)阅读下面的问题：1＋2＋3＋…＋( )>10 000，虽然括号内可填写的数字不唯一，但是我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数字只要大于或等于n0即可．试写出寻找满足条件的最小正整数n0的算法，并画出相应的流程图．

解：算法：第一步，p←0；第二步，i←0；第三步，i←i＋1；第四步，p←p＋i；

第五步，如果p>10 000，则输出i，否则，返回第三步．流程图如图所示：

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．执行如图所示的算法流程图，若输入的a的值为3，则输出的i＝________.

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解析：第1次循环，得M＝100＋3＝103，N＝1×3＝3，i＝2；第2次循环，得M＝103＋3＝106，N＝3×3＝9，i＝3；第3次循环，得M＝106＋3＝109，N＝9×3＝27，i＝4；第4次循环，得M＝109＋3＝112，N＝27×3＝81，i＝5；第5次循环，得M＝112＋3＝115，N＝81×3＝243，i＝6，此时M2．(2016·连云港调研)如图是一个求20个数的平均数的伪代码，则在横线上应填入________．

错误!

解析：设20个数分别为x1，x2，…，x19，x20，由伪代码知：i＝1时，进入循环S＝0＋x1＝x1，

i＝2时，进入循环S＝x1＋x2， i＝3时，进入循环S＝x1＋x2＋x3， …

i＝20时，进入循环S＝x1＋x2＋…＋x20，此时i＝21，应终止循环．故横线上应填入“i>20”或“i≥21”．

答案：i>20(或i≥21)

3．(2016·启东中学月考)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式，并画出流程图，

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写出相应的伪代码．

解：当0当10060，0所以P＝f(x)＝

62－0.02x，100流程图如图所示：

伪代码如下：

Read x

If x≤100 Then P←60 Print PElse

If x≤500 Then P←62－0.02x Print P Else

Print“无意义” End IfEnd If

第二节统计初步第一课时随机抽样

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回抽取；

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(2)每个个体被抽到的概率相等； (3)常用方法：抽签法和随机数表法． 2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本． (1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号；

NNN

(2)将编号按间隔k分段，当n是整数时，取k＝n；当n不是整数时，从总体中剔除一些N′

个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝n，并将剩下的总体重新编号；

(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．

[小题体验]

1．(教材习题改编)老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是____________．

解析：因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．答案：系统抽样

2．(教材习题改编)某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．

答案：10

3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝.解得x＝15.

5010答案：15

1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．

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2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，

n剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．

样本容量n

3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即. 总体个数N[小题纠偏]

1．为了了解某校高三年级学生的学习情况，将该校高三年级的300名学生编号为0,1，…，299，用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若某一段上抽到的编号为38，则第49段上抽到的编号为________．

解析：从300名学生中抽取一个容量为60的样本，即分段间隔为5.

设从第1段编号0～4中抽到的编号为n0，编号38在第x段，

则38＝n0＋5(x－1)，x∈N*，n0∈N，且0≤n0≤4，则x＝8，n0＝3，

则第49段上抽到的编号为3＋(49－1)×5＝243. 答案：243

2．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．红星中学共有1 600名学生，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10名，则该校有女生________名．

200200解析：设女生有x名，则男生有(1 600－x)名．由题意知×(1 600－x)＝×x＋

1 6001 60010，解得x＝760.

答案：760

考点一简单随机抽样基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．已知下列抽取样本的方式：

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出1个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；

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③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．其中，不是简单随机抽样的个数是________．

解析：①不是简单随机抽样，因为被抽取的总体的个体数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样，因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．所以不是简单随机抽样的个数是4.

答案：4

2．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M被抽到的概率为________．

解析：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，用简单随机抽样方法10011

从该总体中抽取容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率为×5＝. 10020

答案：

3．(2016·南京学情调研)某个车间的工人已加工100件某种轴承．为了了解这种轴承的直径，要从中抽出20件在同一条件下测量，用简单随机抽样的方法得到样本的步骤为：

(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________； (3)________________________________________________________________________．解析：按照抽签法的方法得到样本，步骤为：(1)将100件轴承分别编号1到100；(2)写号签；(3)搅拌均匀后逐个抽取20个．

答案：将100件轴承分别编号1到100 写号签搅拌均匀后逐个抽取20个．

[谨记通法]

一个抽样试验用抽签法的2个注意事项

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

考点二系统抽样(重点保分型考点——师生共研)

[典例引领]

1．将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的第一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________________．

第 23 页共 94 页

解析：采用系统抽样的方法抽出5名学生的号码，间隔为12，随机抽得的第一个号码为04，则剩下的四个号码依次是16,28,40,52.

答案：16,28,40,52

2．(2015·苏州模拟)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为______________．

解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤

103

，4

103

因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得4抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.

答案：25,17,8

[由题悟法]

解决系统抽样问题的2个关键步骤

(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．

(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．

[即时应用]

1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本．已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应是________号．

解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号，20号，33号，46号．

答案：20

2．(2016·常州调研)要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确的是________(填序号)．

①将总体分11组，每组间隔为9； ②将总体分9组，每组间隔为11；

③从总体中随机剔除2个个体后分11组，每组间隔为9； ④从总体中随机剔除3个个体后分9组，每组间隔为11.

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解析：因为102＝9×11＋3，所以需从总体中随机剔除3个个体后分9组，每组间隔为11.

答案：④

考点三分层抽样的交汇命题(常考常新型考点——多角探明)

[命题分析]

分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误．

常见的命题角度有： (1)与频率分布相结合问题； (2)与概率相结合问题．

[题点全练]

角度一：与频率分布相结合问题

1．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150]后得到如图所示的部分频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题．

(1)求分数在[120,130)内的频率；

(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；

(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

解：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. －

(2)估计平均分为x＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.

(3)由题意，得[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)，

第 25 页共 94 页

[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110,120)分数段内抽取2人，分别记为m，n；在[120,130)分数段内抽取4人，分别记为a，b，c，d.

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，所有基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15个，其中事件A包含9个．

∴P(A)＝＝.

155

角度二：与概率相结合问题

2．(2016·无锡调研)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

教师学生赞成改革 120 x 不赞成改革 y z 无所谓 40 130 在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.

(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？

(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．

解：(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，

500因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，

则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，

50050

应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4.

500

(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，

第 26 页共 94 页

至少有1名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，

故至少有1名教师被选出的概率P＝＝.

205

[方法归纳]

进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系

样本容量n该层抽取的个体数(1)＝；总体的个数N该层的个体数

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是________(填序号)．

①抽签法；②随机数表法；③系统抽样；④分层抽样．解析：由留下的学生座位号均相差一排可知是系统抽样．答案：③

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号为01.

答案：01

3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中具有初级职称的职工为10人，则样本容量为________．

10200

解析：设样本容量为n，则n＝，解得n＝40.

800答案：40

4．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一

第 27 页共 94 页

个容量为n的样本．已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为________．

解析：设样本容量为n，则

560

＝n.

2＋3＋5

解得n＝120. 答案：120

5．某校2015届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．

解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从480240编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12

2020人．

答案：12

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2016·淮安调研)为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为________．

解析：由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9. 答案：9

2．(2016·扬州检测)某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．若采用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为________．

402

解析：因为特长生总人数为25＋35＋40＝100，所以抽样比为＝，所以抽取的体育

1005222

特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为25×＝10,35×＝14,40×＝16.

555

答案：10,14,16

3．(2015·南京调研)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝________.

131

解析：由已知条件，抽样比为＝，

78060351

从而＝，解得n＝720.

600＋780＋n60答案：720

第 28 页共 94 页

4．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为________．

解析：根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.

答案：482

5．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为________．

解析：利用分层抽样的比例关系，

n270

设从乙社区抽取n户，则＝.

360＋270＋18090解得n＝30. 答案：30

6．某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市________家．

t80

解析：根据分层抽样的知识，设应抽取中型超市t家，则＝，解得t＝16.

1 000200答案：16

7．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．

解析：因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学．所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37.

答案：37

8．(2016·南师附中模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为________．

解析：设第n组抽到的号码为an，则an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由750<30n－21≤960，得25.7第 29 页共 94 页

答案：7

9．(2016·南京外国语学校检测)某网站针对“2016年法定节假日调休安排”提出的A，B，C三种放假方案进行了问卷调查，调查结果如下：

35岁以下的人数 35岁以上 (含35岁)的人数 (1)从所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；

(2)支持B方案的人中，用分层抽样的方法抽取5人，这5人中在35岁以上(含35岁)的人数是多少？35岁以下的人数是多少？

n6解：(1)由题意，得＝，

100＋200200＋400＋800＋100＋100＋400解得n＝40.

(2)35岁以下的人数为×400＝4，

5005

35岁以上(含35岁)的人数为×100＝1.

500

10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

20至40岁大于40岁总计

(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？

(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？

(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．

文艺节目 40 15 55 新闻节目 18 27 45 总计 58 42 100 支持A方案 200 100 支持B方案 400 100 支持C方案 800 400 第 30 页共 94 页

(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．

(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁的有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.

设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：

Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝

＝. 105

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．

解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.

a＋b＋c1所以＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，

3311

可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3 600＝1 200.

答案：1 200

2．(2016·徐州一中检测)下列关于简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点的叙述正确的是________(填序号)．

①都是从总体中随机抽取；

②将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取； ③抽样过程中每个个体被抽取的机会相同； ④将总体分成几层，分层进行抽取．

解析：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．

答案：③

3．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.

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解：总体容量为6＋12＋18＝36.

当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为n， nnn

分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，

36366nnnn

技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝.

363362所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18. 当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人， 35

系统抽样的间隔为，

n＋135因为必须是整数，

n＋1

所以n只能取6.即样本容量为n＝6.

第二课时用样本估计总体

1．作频率分布直方图的步骤 (1)求全距；

(2)决定组距与组数； (3)将数据分组； (4)列频率分布表； (5)画频率分布直方图． 2．频率分布折线图

频率分布折线图：连结频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点，就得到频率分布折线图．

3．茎叶图的优点

一是所有的信息都可以从这张茎叶图中得到，二是茎叶图便于记录和表示． [提醒] 茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 4．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数

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数字特征定义与求法一组数据中重复出现次数最多的数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间优点与缺点众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征众数中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点中位数位置的一个数据(或两个数据的平均数) 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低平均数－个数的平均数x＝x1＋x2＋…＋xn n (2)标准差、方差

①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ 1222

[x1－x＋x2－x＋…＋xn－x]. n

②方差：标准差的平方s2

1－

s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是－

样本容量，x是样本平均数．

[小题体验]

1．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数有________人．

答案：25

2．(教材习题改编)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎

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叶图的分布情况看，______运动员的发挥更稳定．

答案：乙

3．(教材习题改编)两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 由此估计________的射击成绩更稳定．答案：乙

1．易把直方图与条形图混淆

两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的．

频率

2．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为.

组距

3．在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．

[小题纠偏]

1．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于1

其他6个小长方形的面积的和的，且样本容量为80，则中间一组的频数为________．

解析：设中间一组的频数为x， xx1

1－，解得x＝16. 依题意有＝80480答案：16

2．(2016·苏州模拟)如果数据x1，x2，…，xn的平均数是x，方差是s2，则3x1＋2,3x2

＋2，…，3xn＋2的平均数是______，方差是________．

解析：3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的平均数是3x＋2，由于数据x1，x2，…，xn的方差为s2，

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所以3x1＋2,3x2＋2，…，3xn＋2的方差为9s2. 答案：3x＋2 9s2

考点一茎叶图(基础送分型考点——自主练透)

[题组练透]

1．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为________．

解析：甲的中位数为17, 故y＝7，

3×10＋20＋9＋6＋6＋x＋9乙的平均数为＝17.4，

5解得x＝7. 答案：7,7

2．甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是________组．

解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为 63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋92x甲＝＝75.5，

58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋91x乙＝＝75.4，故平均成绩较高的是甲组．

10答案：甲

[谨记通法]

使用茎叶图时的2个注意点

(1)观察所有的样本数据，弄清图中数字的特点，注意不要漏掉数据． (2)注意易混淆茎叶图中茎与叶的含义．

考点二频率分布直方图重点保分型考点——师生共研

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[典例引领]

(2016·苏北四市调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如下表：

网购金额(单位：千元) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 合计

已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2. (1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；

(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？

人数 16 24 x y 16 14 200 频率 0.08 0.12 p q 0.08 0.07 1.00

16＋24＋x＋y＋16＋14＝200，



解：(1)根据题意有：16＋24＋x3

＝，y＋16＋142

x＝80，

解得∴p＝0.4，q＝0.25.

y＝50.

补全频率分布直方图如图所示，

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(2)根据题意，网购金额在(1,2]内的人数为 24

×5＝3(人)，记为：a，b，c.

24＋16

网购金额在(4,5]内的人数为×5＝2(人)，记为：A，B.则从这5人中随机选取2人

24＋16的选法为：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种．记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种．

∴P(M)＝＝.

105

[由题悟法]

1．绘制频率分布直方图时的2个注意点

(1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； (2)频率分布直方图的纵坐标是

频率

，而不是频率．组距

2．由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的2个关系式频率(1)×组距＝频率．组距

频数频数(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．样本容量频率

[即时应用]

(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．

(1)直方图中的a＝________；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．

第 37 页共 94 页

解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.

(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.

因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3 (2)6 000

考点三样本的数字特征(常考常新型考点——多角探明)

[命题分析]

在考查中，样本的数字特征常与频率分布直方图、茎叶图等知识交汇命题．常见的命题角度有：

(1)样本的数字特征与直方图交汇； (2)样本的数字特征与茎叶图交汇； (3)样本的数字特征与优化决策问题．

[题点全练]

角度一：样本的数字特征与直方图交汇

1．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成六组[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，并画出如图所示的部分频率分布直方图．

观察频率分布直方图，回答下列问题：

(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分．

解：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.010＋0.005)×10＝0.3.

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补全的频率分布直方图如图所示：

(2)依题意，第三、四、五、六组的频率之和为 (0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，故估计这次考试的及格率是75%. 抽取学生的平均分约为

45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，故估计这次考试的平均分是71分．角度二：样本的数字特征与茎叶图交汇

2．(2016·常州模拟)南京市各级各类中小学每年都要进行学生体质健康测试，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为体质优秀；在[75,85)之间为体质良好；在[60,75)之间为体质合格；在[0,60)之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生的体质健康测试成绩，其茎叶图如图所示：



76

1 3 5 6

0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 90 5 6 6 7 94 5 86

(1)试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；

(2)根据以上30名学生的体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名，则优秀与良好的学生应各抽多少？

解：(1)根据题意，样本中体质为优秀的学生人数为10，故该校高三年级体质为优秀的学10

生人数约为×300＝100.

(2)依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为15∶10＝3∶2， 3

所以从体质为良好的学生中抽取的人数为×5＝3，

从体质为优秀的学生中抽取的人数为×5＝2.

5角度三：样本的数字特征与优化决策问题

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3．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：

甲乙

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．

12－－22222

解析：x甲＝x乙＝9，s2甲＝×[(9－10)＋(9－8)＋(9－9)＋(9－9)＋(9－9)]＝， 5516222222s2乙＝×[(9－10)＋(9－10)＋(9－7)＋(9－9)＋(9－9)]＝>s甲，故甲更稳定． 55答案：甲

[方法归纳]

利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．

(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．在频率分布直方图中，所有小长方形的面积的和等于________．

频率解析：在频率分布直方图中，每个小长方形的面积是×组距＝频率，所以所有小长

组距方形的面积的和等于1.

答案：1

2．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为________.

10 10 8 10 9 7 9 9 9 9

解析：依题意，所剩数据的平均数是80＋×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差是

55×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.

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答案：85,1.6

3．(2015·江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．

－4＋6＋5＋8＋7＋6解析：x＝＝6.

答案：6

4．某公司300名员工2015年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在1.4～1.6万元的共有________人．

解析：由频率分布直方图知年薪低于1.4万元或者高于1.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在1.4到1.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在1.4到1.6万元间的员工人数为300×0.24＝72(人)．

答案：72

5．(2016·盐城一模)若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2＝________.

2＋3＋7＋8＋a1解析：由＝5得a＝5.故s2＝[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5

5526

－5)2]＝. 5

答案：

26 5

二保高考，全练题型做到高考达标

1.(2015·武汉调研)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为________．

解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.

136所以s2＝×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.

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答案：

36 7

2．(2016·陕西一检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于________．

解析：依题意，0.0×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得 x＝0.018. 答案：0.018

3.(2016·南通调研)为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为________．

解析：由茎叶图可知，在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×

＝160. 20

答案：160

4．样本有五个个体，其值分别为0,1,2,3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为________．

解析：依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝(12＋02＋12＋22＋22)＝2，

5即所求的样本方差为2.

答案：2

5．如图是某样本的频率分布直方图，由图中数据可以估计平均数是________．

解析：平均数等于各组中值与对应频率之积的和，故平均数的估计值为7.5×0.04×5＋

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12.5×0.10×5＋17.5×(1－0.04×5－0.10×5)＝13.

答案：13

6．某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段超速的有________辆．

解析：由频率分布直方图可得超速的频率为0.04×10＋0.02×10＝0.6，所以该路段超速的有200×0.6＝120辆．

答案：120

7.(2016·郑州质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中m

位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值n＝________.

解析：由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙20＋n＋32＋34＋38m3

的平均数也是33，所以有＝33，所以n＝8，所以n＝. 48

答案：

8．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生甲班乙班

若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝________.

解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，12

其方差较小，其平均值为7，方差s2＝(1＋0＋0＋1＋0)＝.

答案：

9．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单

1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 第 43 页共 94 页

位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.

(1)求出m，n的值；

(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s2甲和s乙，并由此分析两组

技工的加工水平；

(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

11－－解：(1)根据题意可知：x甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，x乙＝(9＋n＋10＋11＋12)

55＝10，

∴m＝3，n＝8.

122222

(2)s2甲＝[(7－10)＋(8－10)＋(10－10)＋(12－10)＋(13－10)]＝5.2， 5122222s2乙＝[(8－10)＋(9－10)＋(10－10)＋(11－10)＋(12－10)]＝2， 5－－2∵x甲＝x乙，s2甲>s乙，

∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．

(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a，b，则所有(a，b)有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(7,12)，(8,8)，(8,9)，(8,10)，(8,11)，(8,12)，(10,8)，(10,9)，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(13,8)，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而a＋b≤17的基本事件有(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,8)，(8,9)，共计5个，故满足a＋b>17的基本事件共有25－5204＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为＝. 255

10．(2016·惠州调研)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．

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(1)求图中实数a的值；

(2)若该校高一年级共有学生0名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；

(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

解：(1)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.

(2)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85. 由于该校高一年级共有学生0名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为0×0.85＝4.

(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，

则记在[40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在[90,100]分数段内的同学为B1，B2，B3，B4.

若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．

如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.

则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)共7种取法，所以所求概率为P＝

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知x是1,2,2,3，x,6,7,7,8这9个数的中位数，当x2－x－取得最大值时，1,2,2,3，

7. 15

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x,6,7,7,8这9个数的平均数为________．

解析：因为x是1,2,2,3，x,6,7,7,8这9个数的中位数，所以3≤x≤6.因为f(x)＝x2－x－615

在[3,6]上为增函数，所以当x＝6时，x2－－取得最大值，此时1,2,2,3，x,6,7,7,8这9个数

x6114

的平均数为×(1＋2＋2＋3＋6＋6＋7＋7＋8)＝. 93

答案：

14 3

2．抽样统计甲、乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：

城市第1天甲乙则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为________(填“甲”或“乙”)．解析：因为x

甲＝

空气质量指数(AQI) 第2天 111 111 第3天 132 115 第4天 118 132 第5天 110 112 109 110 x乙＝116，所以

122222

s2 甲＝[(109－116)＋(111－116)＋(132－116)＋(118－116)＋(110－116)]＝74，5122222s2乙＝[(110－116)＋(111－116)＋(115－116)＋(132－116)＋(112－116)]＝566.8.

2所以s2乙答案：乙

3．某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价(即原价)0.5(单位：元/度)计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b(单位：元/度)计费，未超出部分按平价计费．为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题(同一组数据用该区间的中点值作代表)．

(1)若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值

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a；

(2)在(1)的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变，月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；

(3)在(1)(2)条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b.

解：(1)由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数．如下表：分组频率频数由表可知，在区间[0,80)内的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a的值为80.

(2)由(1)知，月用电量在[0,80)内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；

月用电量在[80,100)内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意，每户每月节电10×60%＝6度，25户每月共节电6×25＝150度；

月用电量在[100,120]内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电30×60%＝18度，5户每月共节电18×5＝90度．

故样本中100户住户每月共节电150＋90＝240度，用样本估计总体，得全市每月节电200 000量约为240×＝480 000度．

100

(3)由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变．

由(1)(2)可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计10×25＋30×5＝400度，实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为“阶梯电价”前后电费总额不变，所以400×0.5＝160×b，解得b＝1.25.

[0,20) 0.04 4 [20,40) 0.12 12 [40,60) 0.24 24 [60,80) 0.30 30 [80,100) 0.25 25 [100,120] 0.05 5 第三节概率

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第一课时随机事件的概率

1．概率

(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)． (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．

(3)概率的几个基本性质

①概率的取值范围：0≤P(A)≤1. ②必然事件的概率：P(A)＝1. ③不可能事件的概率：P(A)＝0. ④概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． ⑤对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件．P(A＋B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 2．互斥事件和对立事件事件定义性质 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，(事件A，B在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件是互斥事件)； P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)(事件A1，A2，…，An任意两个互斥) 对立事件 [小题体验]

1．(2015·绵阳中学)从装有5个红球和3个白球的口袋内任意取出4个球，则下列事件中是不可能事件的是________．

如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件 P(A)＝1－P(A) 互斥事件第 48 页共 94 页

①取出的4个球都是红球； ②取出的4个球都是白球；

③取出的4个球中至少有1个是红球； ④取出的4个球中至少有1个是白球．

解析：因为白球只有3个，所以取出的4个球不可能全是白球，所以②是不可能事件．答案：②

2．(教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：

射击次数击中靶心次数 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455 这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________．答案：0.90

3．(教材习题改编)给出下列三个命题，其中正确命题有________个．

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次3

抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是7这个随机事件发生的概率．

解析：①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，7这是两个不同的概念．

答案：0

1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数． 2．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．

[小题纠偏]

1．若某随机事件发生的概率是N，则该事件在一次试验中________(填序号)． ①一定不发生；

②可能发生，也可能不发生； ③一定发生．

解析：根据概率的意义知该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生．答案：②

2．(2015·镇江模拟)下列说法正确的是________(填序号)．

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①频率反映的是事件发生的频繁程度； ②概率反映的是事件发生的可能性的大小；

③在n次重复试验中，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概

n率；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．解析：由频率与概率的概念可知①②④正确．答案：①②④

考点一随机事件的关系基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，有下面4个命题： ①“若x∈A，则x∈B”是必然事件； ②“若x∉A，则x∈B”是不可能事件； ③“若x∈B，则x∈A”是随机事件； ④“若x∉B，则x∉A”是必然事件．其中正确的命题有________(填序号)．

解析：由真子集的定义可知①③④是正确的命题．答案：①③④

2．下列说法中正确的是________(填序号)．

①事件A，B中至少有一个发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率大； ②事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B中恰有一个发生的概率小； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．

解析：对于①，若事件A，B中有一个为不可能事件，则事件A，B中至少有一个发生的概率与事件A，B中恰有一个发生的概率相等，故①说法错误；对于②，若事件A，B不互斥，则事件A，B同时发生的概率不一定比事件A，B中恰有一

个发生的概率小，故②说法错误；由互斥事件与对立事件的概念知，③说法错误；④说法正确．

答案：④

3．抛掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的

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数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．

解析：事件A，B不可能同时发生，并且必有一个发生，因此事件A，B是互斥事件，也是对立事件．

答案：A，B A，B

[谨记通法]

判别互斥、对立事件的2种方法

(1)定义法

判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法

①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

考点二随机事件的概率重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

(2015·陕西高考)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日期天气

日期天气 21 晴 22 阴 23 晴 24 晴 25 晴 26 阴 27 晴 28 晴 29 晴 30 雨 11 阴 12 晴 13 晴 14 晴 15 晴 16 晴 17 阴 18 雨 19 阴 20 阴 1 晴 2 雨 3 阴 4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；．．．

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不．．．下雨的概率．．．

解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，2613西安市不下雨的概率为＝.

3015

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(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日7

不下雨的频率为. 8

以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.

[由题悟法]

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

[即时应用]

近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

厨余垃圾可回收物其他垃圾

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量4002

＝＝. 厨余垃圾总量400＋100＋1003

(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃400＋240＋60

圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.

1 000

“厨余垃圾”箱 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60 第 52 页共 94 页

考点三互斥事件与对立事件的概率重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

(2015·南京模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

排队人数概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人及5人以上 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？

解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C) ＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则 H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F) ＝P(D)＋P(E)＋P(F) ＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

[由题悟法]

求复杂互斥事件概率的2种方法

(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．

(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思

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维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．

[提醒] 应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．

[即时应用]

袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球355

或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率

1212分别是多少？

解：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得1

到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝，

P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝

，① 125

，② 12

P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝

由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得 P(A)＝1－P(B＋C＋D) ＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，

即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，③

331

①②③联立可得P(B)＝，

411P(C)＝，P(D)＝.

111即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________. 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙；甲、丙；乙、丙三2

种可能，则甲被选中的概率为.

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答案：

2．(2016·苏州名校联考)某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么前4个病人都没有被治

5愈，第5个病人被治愈的概率是________．

解析：该医院治疗一种疾病的治愈率也就是概率，由概率的概念知第5个病人被治愈的1

概率还是.

答案：

3．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是________．

解析：将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共631

个，两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率为＝.

答案：

4．同时掷两枚质地均匀的骰子，则 (1)向上的点数相同的概率为________； (2)向上的点数之和小于5的概率为________．

解析：(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为361＝. 6

(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概61率为＝.

366

答案：(1) (2) 66

5．如果事件A，B互斥，那么________(填序号)． ①A＋B是必然事件； ②A＋B是必然事件； ③A与B一定是互斥事件； ④A与B一定不是互斥事件．

解析：当A，B是对立事件时，A＋B是必然事件，A＋B是必然事件，A与B是互

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斥事件；当A，B是互斥事件但不是对立事件时，A＋B不是必然事件，A＋B是必然事件，A与B不是互斥事件．故只有②正确．

答案：②

二保高考，全练题型做到高考达标

1．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为________．

解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)共4种取法，符合题意的取1法有2种，故所求概率P＝.

答案：

2．盒子中有大小相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出白球的概率是________，摸出的球不是黄球的概率为________，摸出的球是黄球或黑球的概率为________．

解析：记“摸出黑球”为事件A，“摸出黄球”为事件B，“摸出白球”为事件C，则P(A)＝0.42，P(B)＝0.18，由P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，得P(C)＝0.4，故摸出白球的概率为0.4.由1－P(B)＝0.82，知摸出的球不是黄球的概率为0.82.由P(B)＋P(A)＝0.18＋0.42＝0.6，知摸出的球是黄球或黑球的概率为0.6.

答案：0.4 0.82 0.6

3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为________．

解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.

答案：0.92

4．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为________．

解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所31以第2位走出的是男同学的概率P＝＝. 62

第 56 页共 94 页

答案：

5．记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．

解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：2

10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为. 9

答案：

6．(2016·苏州诊断)从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．

解析：从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，21其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.

答案：

7．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．

解析：随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满3足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为.

答案：

8．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．

其中是对立事件的是________(填序号)．

解析：根据题意，从1,2，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个数都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两

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种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．

答案：③

9．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员不止参加了1个小组，具体情况如图所示．随机选取1个成员，则

(1)该成员至少参加2个小组的概率是多少？ (2)该成员参加不超过2个小组的概率是多少？

解：(1)从图中可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60. 用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A表示“选取的成员至少参加2个小组”， 6＋8＋103所以P(A)＝1－P(A)＝1－＝.

605(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则B表示“选取的成员参加不超过2个小组”，于是P(B)＝1－P(B)＝1－

813＝. 6015

10．(2015·北京高考)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“

商品顾客人数 100 217 200 300 85 98 甲乙 ”表示未购买. 丙丁第 58 页共 94 页

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以200

顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.

1 000

(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、100＋200

丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.

1 000

200

(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，

1 000100＋200＋300

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，

1 000100

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1，

1 000

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的8个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为________．

解析：从8个球中有放回的每次取一个球，取2次共有种取法．两个球的编号和不3小于15，则两球号码可以为7,8；8,7；8,8三种可能，其概率为P＝.

答案：

2．(2016·南师附中月考)不透明袋中有3个白球，3个黑球，从中任意摸出3个球，求下列事件发生的概率：

(1)摸出1个或2个白球； (2)至少摸出1个白球．

解：将白球分别编号为1,2,3，黑球分别编号为4,5,6，则从6个球中任意摸出3个球，结果如下：

三白为(1,2,3)；

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两白一黑为(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)；一白两黑为(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)；三黑为(4,5,6)．共有20种不同的结果．

从6个球中任取3个，记“恰有1个白球”为事件A1，“恰有2个白球”为事件A2，“恰有3个黑球”为事件B，事件A1与A2为互斥事件，则

(1)摸出1个或2个白球的概率 P1＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝

999＋＝. 202010

(2)“至少摸出一个白球”的对立事件为“摸出的3个球都是黑球”，所以所求概率 119

P2＝1－P(B)＝1－＝. 2020

第二课时古典概型

古典概型

(1)特点：

①所有基本事件只有有限个，即有限性．

②每个基本事件的发生都是等可能的，即等可能性． (2)古典概型概率公式： P(A)＝

A包含的基本事件的个数

基本事件的总数

[小题体验]

1．从3男3女共6名同学中任选2名，则2名都是女同学的概率为________．解析：用A，B，C表示3名男同学，用a，b，c表示3名女同学，则从6名同学中选出2名的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，31

共15种，2名都是女同学的选法为ab，bc，ac，共3种，故所求的概率为＝.

155

答案：

第 60 页共 94 页

2．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是________．

解析：将3件正品分别记为1,2,3，所有基本事件为(1，次)，(2，次)，(3，次)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共6种，恰有1件次品的基本事件为(1，次)，(2，次)，(3，次)，共3种，所以31

所求概率P＝＝.

答案：

3．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．

解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴P＝

1答案：

1．在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．

2．概率的一般加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

[小题纠偏]

1．(2016·盐城调研)从集合{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从集合{1,2,3}中随机选一个数b，则b>a的概率为________．

解析：从集合{1,2,3,4,5}中随机选一个数a，从集合{1,2,3}中随机选一个数b，所得情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，31(5,3)，共15种，b>a的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，∴所求概率为＝.

155

答案：

2．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A＋B)＝________(结果用最简分数表示)．

113

解析：∵P(A)＝，P(B)＝，

5252∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝ 105

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113147＝＋＝＝. 52525226答案：

7 26

考点一古典概型的简单问题基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．袋有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为________．

解析：令红球、白球、黑球分别为A，B1，B2，C1，C2，C3，则从袋中任取两球有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15种取法，其中两球颜色相同的有(B1，B2)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共4种取法，由古典概型及对立事件的概率411

公式可得P＝1－＝. 1515

答案：

11 15

2．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占

6一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．

解析：根据题意知男生共有40人，其中是男生且为三好学生的人数共有5人，故选出51

的是男生且为三好学生的概率P＝＝.

408

答案：

3．(易错题)(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

参加演讲社团未参加演讲社团参加书法社团 8 2 未参加书法社团 5 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，

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A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．

解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，

151

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

453(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有： {A1，B2}，{A1，B3}，共2个．

2因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

[谨记通法]

古典概型中基本事件的2种探求方法

(1)枚举法

适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的，如“题组练透”第3题(2)问事件的列出易错．

(2)树状图法

适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)和(2,1)相同．

考点二古典概型的交汇命题常考常新型考点——多角探明

[命题分析]

古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．

常见的命题角度有：

(1)古典概型与平面向量相结合； (2)古典概型与直线、圆相结合； (3)古典概型与函数相结合； (4)古典概型与统计相结合．

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[题点全练]

角度一：古典概型与平面向量相结合

1．已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1，3}，y随机选自集合{1,3,9}．

(1)求a∥b的概率； (2)求a⊥b的概率．

解：由题意，得(x，y)所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．

(1)设“a∥b”为事件A，则xy＝－3. 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1个． 1

故a∥b的概率为P(A)＝.

9(2)设“a⊥b”为事件B，则y＝3x.

事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个． 2

故a⊥b的概率为P(B)＝. 9

角度二：古典概型与直线、圆相结合

2．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．

解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2

≤ 2，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3

217

＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝. 3612

答案：

7 12

角度三：古典概型与函数相结合

3．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.

(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；

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x＋y－8≤0，

(2)设点(a，b)是区域x>0，内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是

y>0增函数的概率．

解：(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝a，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，

当且仅当a>0且

≤1，即2b≤a. a

若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1,1；若a＝3，则b＝－1,1.

∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5， 51

∴所求事件的概率为＝. 153

(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函

a＋b－8≤0，数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为a，ba>0，

b>0

事件的区域为三角形部分．



构成所求

a＋b－8＝0，168，由a得交点坐标为33， 

b＝2，

×8×231

∴所求事件的概率为P＝＝.

13×8×82角度四：古典概型与统计相结合

4．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．

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(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.

(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.

从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又1因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.

[方法归纳]

解决古典概型交汇命题的关注点

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2015·扬州模拟)把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，直线l1：ax＋by＝4，直线l2：x＋2y＝2，则l1∥l2的概率为________．

解析：把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，共有36种结果．要使直线l1：ax＋by＝4与直线l2：x＋2y＝2平行，则有a＝1，b＝2或a＝3，21b＝6，即(1,2)，(3,6)，共2种结果，所以两条直线平行的概率是＝.

3618

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答案：

1 18

2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为________．

解析：因为从4张卡片中任取出2张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中2张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)共2种，所以2张卡片上的数字1

之和为偶数的概率为.

答案：

3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．

解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝2＝. 5

2答案：

4.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为________．

解析：只考虑A，B两个方格的填法，不考虑大小，A，B两个方格有16种填法．要使填入A方格的数字大于B方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A方格的数字大于B方63

格的数字的概率为＝.

168

答案：

5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是________．

解析：从5个球中任取三个共有10种结果，没有白球只有一种结果，所以至少有一个

615

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白球的概率为1－＝.

1010

答案：

9 10

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2016·启东检测)有5根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9，从中任取3根，能构成三角形的概率是________．

解析：从5根细木棒中任取3根共有10种取法，能构成三角形的有3种取法：3,5,7；35,7,9；3,7,9.所以所求概率为P＝.

答案：

3 10

2．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为________．

解析：先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种．其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，7(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求概率为. 11

7答案：

3．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b解析：由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个；由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421，共6个；由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431，共6个；由2,3,4组成的三位数有234,243,324,342,423,432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有6＋21324,423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P＝＝. 243

答案：

4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为________．

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解析：分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4.

答案：3和4

5．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹π

0，的概率为________．角为α，则α∈4解析：法一：依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向π

0，，即n0，的(m，n)＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈4155

共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝. 3612

法二：依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b36－6π155

0，，＝(1,0)的夹角α∈即n答案：

5 12

6．(2016·南京三模)现有红心1,2,3和黑桃4,5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为________．

解析：所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，3共10个，其中2张牌均为红心的事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个，故所求的概率为P＝. 10

答案：

3 10

x2y2

7．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线2－2＝1的离心率e>5的

ab概率是________．

解析：由e＝

b21＋2>5，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，ba

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＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴61

所求事件的概率P＝＝. 366

答案：

8．(2016·常州一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2

表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．

解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．

设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N)＝15P(N)＝1－P(N)＝1－＝. 66

答案：

9．(2016·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

解：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，

＝，由对立事件的概率计算公式得126

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所以P(A)＝

31＝， 279

因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，

所以P(B)＝1－P(B)＝1－

＝， 279

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

10．(2016·深圳一调)一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．

(1)求连续取两次都是白球的概率；

(2)假设取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的概率是多少？

解：(1)连续取两次的基本事件有：(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)；(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)；(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)；(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，共16个．

连续取两次都是白球的基本事件有：(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4个，

41故所求概率为＝.

(2)连续取三次的基本事件有：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白1，黑)，…，共个．

因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为4分的基本事件有：

(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，共15个．

第 71 页共 94 页

故所求概率为.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2

3三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．

解析：对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，62(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝＝. 93

答案：

2．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．

(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；

(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

解：用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．

(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，102(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个．则P(A)＝＝. 255

(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个．

102

则P(B)＝＝，

2553

所以P(C)＝1－P(B)＝. 5

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因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．

第三课时几何概型

1．几何概型的定义

设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．

2．几何概型的两个基本特点

(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P(A)＝

d的测度.

D的测度[提醒] 求解几何概型问题注意数形结合思想的应用． [小题体验]

1．(教材习题改编)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是________．

解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P2＝. 5

答案：

2．在区间[20,80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]内的概率为________． 75－505解析：选择区间长度度量，则所求概率为＝. 80－2012答案：

5 12

3．如图，矩形的长为6，宽为3，往矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆为125颗，则可以估计出阴影部分的面积为________．

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S阴影S阴影

解析：∵矩形的长为6，宽为3，∴S矩形＝18，由几何概型的概率计算公式，得＝

S矩形18＝

12515，解得S阴影＝. 3002答案：

易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．

[小题纠偏]

1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为

8________．

解析：如图，将细绳八等分，C，D分别是第一个和最后

一个等分点，则在线段CD的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于米(C，D两点除

86831

外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于米的概率为P＝＝. 814

答案：

2.(2016·高安中学检测)如图，在△AOB中，已知∠AOB＝60°，OA＝2，OB＝5，在线段OB上任取一点C，则△AOC为钝角三角形的概率是________．

解析：由题意知，当△AOC为钝角三角形时，有两种情况：第一种是∠ACO为钝角，这种情况的边界是∠ACO＝90°，此时OC＝1，所以在这种情况下，0概率P＝＝0.4.

答案：0.4

考点一与长度角度有关的几何概型基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

第 74 页共 94 页

1．在圆心角为90°的扇形OAB中，以圆心O为顶点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为________．

解析：由题意作射线OC使得∠AOC的范围在30°到60°之间才能满足要求，故所求概30°1率为＝.

90°3

答案：

2．(2016·衡水一模)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为________．

10－2解析：设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以x(12－x)>20，解得22答案：

3.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA601

落在∠yOT内的概率为＝.

3606

答案：

[谨记通法]

1．与长度有关的几何概型

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．

考点二与体积有关的几何概型重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

(2016·济南一模)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为________．

第 75 页共 94 页

解析：设事件M＝“动点在三棱锥A-A1BD内”，

V三棱锥A-ABD1P(M)＝

V长方体ABCD-ABCD＝

V三棱锥A-ABD11111V长方体ABCD-ABCD 1111＝

AA·S31△ABDV长方体ABCD-ABCD1111 11

AA1·S矩形ABCD321＝＝.

AA1·S矩形ABCD61答案：

[由题悟法]

与体积有关的几何概型求法的关键点

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．

[即时应用]

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

解析：由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又2

8－π3142π

V正方体ABCD-A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝·π·13＝π，∴所求事件概率P(A)＝＝1－. 233812

答案：1－

考点三与面积有关的几何概型常考常新型考点——多角探明

[命题分析]

与面积有关的几何概型在高考中经常出现．常见的命题角度有：

第 76 页共 94 页

(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题； (2)与线性规划交汇命题的问题； (3)与定积分交汇命题的问题．

[题点全练]

角度一：与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题

1．如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________．

×π×12－×12＝4解析：顺次连结星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4244－π4

－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.

ππ

答案：－1

2．(2015·苏州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________．

解析：如图，如果M点位于以AB为直径的半圆内部，则∠AMB>90°，否则，M点位于半圆上及空白部分，则∠AMB≤90°，所以∠AMB>90°1

×π×122π

的概率P＝＝. 228

答案：

角度二：与线性规划交汇命题的问题

x2y2

3．在区间[1,5]和[2,6]内分别取一个数，记为a和b，则方程2－2＝1(aab小于5的双曲线的概率为________．

b2b2<4，∴b<2，解析：∵e2＝1＋<5，∴aaa

1≤a≤5，

即a2≤b≤6

第 77 页共 94 页

表示的区域如图，并作出直线b＝2a与b＝a.

1115

∴S阴＝4×4－×3×3－×4×2＝，

22215S阴215

∴所求概率P＝＝＝.

S正方形4×43215

答案：

4．(2016·金陵中学检测)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；

(2)若a是从区间[0，t＋1]上任取的一个数，b是从区间[0，t]上任取的一个数，其中t满足2≤t≤3，求方程有实根的概率，并求出概率的最大值．

解：(1)a，b构成的实数对(a，b)有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个，即总的基本事件有12个．

设事件A为“方程有实根”，由Δ＝4a2－4b2≥0，得a2≥b2，

所以事件A包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个，

93所以事件A的概率为P(A)＝＝.

124

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤t＋1,0≤b≤t}，设事件B为“方程有实根”，

则事件B所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤t＋1,0≤b≤t，a≥b}，如图所示．

第 78 页共 94 页

1＋t＋1×tS阴影t＋2211＋1

则P(B)＝＝＝＝.

S矩形tt＋12t＋12t＋1111

因为2≤t≤3，所以3≤t＋1≤4，则≤≤，

4t＋1351452所以≤1＋≤，即≤P(B)≤，

483t＋132所以概率的最大值为. 3

[方法归纳]

求解与面积有关的几何概型的关键点

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．

1－431

解析：要使x2－x＋a＝0无实根，则Δ＝1－4a<0，即a>，则所求的概率等于＝. 41－043

答案：

0≤x≤2，

2．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到

0≤y≤2

坐标原点的距离大于2的概率是________．

解析：如图所示，区域D为正方形OABC及其内部，且区域D的面积S＝4.又阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S阴＝4－π，

4－π

∴所求事件的概率P＝. 4答案：

4－π

3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．

第 79 页共 94 页

1－－12

解析：因为|x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率为＝.

2－－132

答案：

4．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为________．

解析：由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，1

所求概率为.

答案：

5．某单位甲、乙两人在19：00～24：00之间选择时间段加班，已知甲连续加班2小时，乙连续加班3小时，则23：00时甲、乙都在加班的概率是________．

解析：设甲开始加班的时刻为x，乙开始加班的时刻为y，试验的全部结果所构成的区域为M＝{(x，y)|19≤x≤22，19≤y≤21}，面积SM＝2×3＝6.事件A表示“23：00甲、乙都在加班”，所构成的区域为A＝{(x，y)|21≤x≤22,20≤y≤21}，面积SA＝1×1＝1，所以所求SA1

的概率为P(A)＝S＝.

答案：

二保高考，全练题型做到高考达标

1．从集合A＝{2, 3，－4}中随机选取一个数，记为k，从集合B＝{－2，－3,4}中随机选取一个数，记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为________．

解析：将k和b的取法记为(k，b)，则有(2，－2)，(2，－3)，(2,4)，(3，－2)，(3，－3)，(3,4)，(－4，－2)，(－4，－3)，(－4,4)，共9种，因为kb≠0，所以当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k>0，b<0，有(2，－2)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－3)，共4种，所以所求4概率为. 9

第 80 页共 94 页

答案：

2．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是

5________．

解析：设这两个数分别是x，y，

0≤x≤1，

则总的基本事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件

0≤y≤1

0≤x≤1，0≤y≤1，

构成的区域是

6x＋y<5

142

确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×＝

25

17617，所以这两个数之和小于的概率是. 25525

答案：

3．(2016·海门中学模拟)在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的4概率为________．

解析：设AB，AC上分别有点D，E满足AD＝AB且AE＝AC，

443

则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.∵点A到DE的距离等于点A

到BC的距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的

44S

距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为

4S△ADE329

＝. ＝416S△ABC

答案：

4．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M

第 81 页共 94 页

-ABCD的体积小于的概率为________．

解析：正方体ABCD -A1B1C1D1如图所示．设四棱锥M -ABCD的高111

为h，由×S四边形ABCD×h<，且S四边形ABCD＝1，得h<，即点M在正

3621

2正方体ABCD-A1B1C1D11

方体的下半部分(不包括底面)．故所求概率P＝＝. 2V正方体ABCD-ABCD11111

答案：

x≤0，

5．(2015·徐州、宿迁质检)由不等式组y≥0，

y－x－2≤0

确定的平面区域记为Ω1，不等式

x＋y≤1，

组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在 Ω2内的概率为x＋y≥－2

________．

解析：平面区域Ω1的面积为×2×2＝2，平面区域Ω2

2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C(0,1)．

y－x－2＝0，

由解得3x＋y＝1，y＝2，

x＝－，2

13－，，即D22

11117则△ACD的面积为S＝×1×＝，则四边形BDCO的面积S＝S△OAB－S△ACD＝2－＝.224447

在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为＝.

7答案：

6．一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．

解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，

212ππ

阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以所求概率为＝.

23015

第 82 页共 94 页

答案：

π 15

7．(2016·苏锡常镇一模)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于3的概率是________．

解析：依题意知，当相应的弦长大于3时，圆心到弦的距离小于

12－

32＝1，因

22

此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于. 22

答案：

x－4≤0，

8．已知在圆(x－2)2＋(y－2)2＝8内有一平面区域E：y≥0，

mx－y≤0，m≥0，

点P是圆

内的任意一点，而且点P出现在任何一点处是等可能的．若使点P落在平面区域E内的概率最大，则m＝________.

解析：如图所示，当m＝0时，平面区域E(阴影部分)的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大．

答案：0

9．甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场(在此期间货场没有其他车辆)，求至少有一辆车需要等待装货物的概率．

解：设甲、乙货车到达的时间分别为x，y分钟，据题意基本事件空间可表示为

0≤x≤60，

Ω＝x，y

0≤y≤60



， 

而事件“有一辆车等待装货”可表示为 0≤x≤60，A＝x，y0≤y≤60，



|x－y|≤20

， 

第 83 页共 94 页

60×60－2××40×40S阴影25

如图，据几何概型可知其概率等于P(A)＝＝＝.

960×60S正方形

10．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的1

概率是. 2

(1)求n的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率． n1

解：(1)依题意＝，得n＝2.

n＋22

(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)(k，s)，(h，s)．

所以所求概率为P(A)＝＝.

123

②记“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝π1－. 4

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2016·徐州质检)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．

解析：若函数f(x)有零点，则4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π.所有事件是Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，∴S＝(2π)2＝4π2，而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，∴s＝4π23π23－π ＝3π，则概率P＝2 ＝.

4π4

第 84 页共 94 页

答案：

2．在区间[0,10]上任取一个实数a，使得不等式2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．

解析：要使2x2－ax＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x＋在(0，

＋∞)上恒成立．又2x＋x≥216＝8，当且仅当x＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.8－04由几何概型的概率计算公式可知所求概率为＝.

10－05

答案：

3．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．

(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.

基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2112个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为. 1266

(2)因为x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD，面积为S1＝3×2＝6.

设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.

113

＋×2＝2，事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2＝× 222S221

则P(B)＝＝＝. S163

即向量a，b的夹角是钝角的概率是.

命题点一算法难度：中命题指数：☆☆☆☆ 第 85 页共 94 页

1．(2015·安徽高考)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n为________．

解析：执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414＞0.005，a＝，n＝2；

执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086＞0.005，a＝，n＝3；

5执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014＞0.005，a＝

，n＝4； 12

执行第四次判断：|a－1.414|＜0.005，输出n＝4. 答案：4

2．(2015·福建高考改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为________．

解析：由框图知，第1次循环，S＝0＋cos ＝0，i＝2；

2第2次循环，S＝0＋cos π＝－1，i＝3；第3次循环，S＝－1＋cos

3π

＝－1，i＝4； 2

第4次循环，S＝－1＋cos 2π＝0，i＝5；第5次循环，S＝0＋cos

5π＝0，i＝6＞5. 2

第 86 页共 94 页

此时结束循环，输出S＝0. 答案：0

3．(2015·北京高考改编)执行如图所示的程序框图，输出的结果为________．

解析：x＝1，y＝1，k＝0，s＝x－y＝0，t＝x＋y＝2，x＝s＝0，y＝t＝2，k＝1，不满足k≥3；s＝x－y＝－2，t＝x＋y＝2，x＝－2，y＝2，k＝2，不满足k≥3；s＝x－y＝－4，t＝x＋y＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，满足k≥3，输出的结果为(－4,0)．

答案：(－4,0)

4．(2015·全国卷Ⅰ改编)执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝________.

解析：运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；

22运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；

第 87 页共 94 页

运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01. 输出n＝7. 答案：7

5．(2015·江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．

解析：由程序可知，S＝1，I＝1，I＜8； S＝3，I＝4，I＜8； S＝5，I＝7，I＜8；

S＝7，I＝10，I＞8，此时结束循环，输出S＝7. 答案：7

命题点二抽样方法难度：低命题指数：☆☆☆ 1．(2015·四川高考改编)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________．(填序号)

①抽签法；②随机数表法；③系统抽样；④分层抽样．

解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．答案：④

2．(2015·北京高考改编)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为________．

类别人数第 88 页共 94 页

老年教师中年教师青年教师合计 900 1 800 1 600 4 300 x320＝，故x9001 600

解析：设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝180.

答案：180

3．(2015·湖北高考改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得2粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石．

解析：设1 534石米内夹谷x石，则由题意知约为169石．

答案：169

4．(2015·湖南高考改编)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．

x28

＝，解得x≈169.故这批米内夹谷1 5342



141 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 150 1 2 2 3 3 3

0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．

解析：35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．

答案：4

5．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．

①用所给编号列出所有可能的结果；

②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

第页共 94 页

解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．

因此，事件A发生的概率P(A)＝

93＝. 155

命题点三用样本估计总体难度：中命题指数：☆☆☆☆☆

1．(2015·重庆高考改编)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数是________.

解析：由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中20＋20位数为＝20.

答案：20

2．(2015·广东高考)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2

＋1，…，2xn＋1的均值为________．

x1＋x2＋…＋xn2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1解析：由条件知x＝＝5，则所求均值x0＝nn2x1＋x2＋…＋xn＋n＝＝2x＋1＝2×5＋1＝11.

答案：11

3．(2015·广东高考)某工厂36名工人的年龄数据如下表. 工人编号 1 年龄 40 工人编号 10 年龄 36 工人编号 19 年龄 27 工人编号 28 年龄 34 第 90 页共 94 页

2 3 4 5 6 7 8 9 44 40 41 33 40 45 42 43 11 12 13 14 15 16 17 18 31 38 39 43 45 39 38 36 20 21 22 23 24 25 26 27 43 41 37 34 42 37 44 42 29 30 31 32 33 34 35 36 39 43 38 42 53 37 49 39 (1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据．

－

(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2.

－－

(3)36名工人中年龄在x－s与x＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?

解：(1)由系统抽样的知识可知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，

所以所有样本数据的编号为4n－2(n＝1,2，…，9)，其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. －44＋40＋…＋37

(2)由均值公式知：x＝＝40，

1100

由方差公式知：s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝. 99(3)因为s2＝

10010，s＝， 93

－－

所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．

23－－

所以36名工人中年龄在x－s和x＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.%.

3．(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．

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B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组频数 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．

[50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90,100] 6

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分满意度等级低于70分不满意 70分到分满意不低于90分非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解：(1)如图所示．

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满

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意度评分比较分散．

(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．

记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”； CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为 (0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，

P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.

命题点四古典概型难度：中命题指数：☆☆☆ 1．(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解析：法一：以1表示白球，以2表示红球，以3,4表示2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，2只球颜色不同的基本事5件有5个，故所求概率P＝.

法二：2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同，有1种情况，故所求概率P＝1－15＝. 66

5答案：

2．(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.

组号 1 2 3 4 分组 [4,5) [5,6) [6,7) [7,8] 频数 2 8 7 3 (1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；

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(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．

解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：

{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．

其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．

所以所求的概率P＝.

(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 28734．5×＋5.5×＋6.5×＋7.5×＝6.05.

20202020

3．(2014·天津高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：

男同学女同学一年级 A X 二年级 B Y 三年级 C Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；

(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．

(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．

因此，事件M发生的概率P(M)＝

＝. 155

命题点五几何概型难度：中命题指数：☆☆☆ 第 94 页共 94 页

1.(2015·福建高考改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点x＋1，x≥0，C与点D在函数f(x)＝1的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点

－x＋1，x<02取自阴影部分的概率等于________．

x＋1，x≥0，

解析：因为f(x)＝1B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标

－2x＋1，x<0，

为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为×3×1

23213

＝，故P＝＝. 2

1答案：

2．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．

解析：设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个负根分别为x1，x2，



则有x＋x＝－2p<0，

xx＝3p－2>0，

212

Δ＝4p2－43p－2≥0，

解得3

故所求概率P＝2

答案：

1－2＋5－232

＝. 3

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