容斥原理在集合论、概率论、组合数学中都常常出现，它是下⾯⼀个结论的推⼴。
这是因为，我们分别减|A|、|B|的时候，把|AB|减掉了两次，因此这⾥应该再加⼀次。 它的推⼴形式就是容斥定理。
在给出证明之前，我们很有必要充分的理解⼀下这个公式的内涵。我们基于S集合上的⼀系列离散元素上讨论不满⾜m个性质的对象(元素)个数。我们假想某⼀种性质的具体表现为：⼀根丝带，圈住了满⾜这⼀条性质的所有元素(本质上就是画Venn图)，现在我们想要求的就是没有被特定的m条丝带圈出的元素个数。
这个定理再利⽤德摩根律能够做出等价变化，它在计数、反演公式等⽅⾯发挥着重要作⽤。
下⾯开始结合⼀些具体的例⼦来拓展和深化对容斥定理的理解。
错位排列：
⾸先直观的解释什么是错位排列，然后我们再去探讨它如何与容斥原理结合起来.
所谓错位排列，举个最简单的例⼦，在⼀个宴会上，10位绅⼠都有着⾃⼰的帽⼦，将这些帽⼦混合起来，10位绅⼠各⾃拿了⼀个帽⼦，考察每⼀位绅⼠发现，他们⼿中的帽⼦均不是⾃⼰原本的帽⼦，那么这就是⼀种错位排列，我们关⼼的是，有多少种这样的错位排列？
关于错位排列，我们继续讨论⼀些内容。通过上⾯利⽤容斥定理这个⾓度看错排，我们得到了⼀个概率的极限结果，现在我们讨论⼀个易于计算错排公式的⽅法。
⼀个具有限制位置的计数问题：
假设⼀天8个男⽣按照标号1,2…7,8的序号站队去晨跑，第⼆天⽼师想要换⼀下站队顺序，要求是每个男孩前⾯的男孩都不是他昨天前⾯的男⽣，那么请问有多少种符合的排列⽅式？
简单的讲，就是说8的全排列中，不含12,23,…,78的排列个数.
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