二次函数与三角形的存在性问题

一、预备知识

(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A（x1，y），B（x2，y） 线段对称轴是直线 ：x _Q x1x22

(2) 两点之间距离公式：已知两点Px1,y1,Qx2,y2，

则由勾股定理可得：PQ_P _G (x1x2)2(y1y2)2

_O 练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则AB＝ 。

x1x2y1y2,22。 中点公式：已知两点Px1,y1,Qx2,y2，则线段PQ的中点M为练一练：已知A（0，5）和B（－2，3），则线段AB的中点坐标是

（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2

（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、常见考察形式

（1）已知A（1,0），B（0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形；

总结： 两圆一线

（2）已知A（-2,0），B（1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C，使△ABC是直角三角形； 总结： 两线一圆 （3）、方法总结：

1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；

2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；

3、二次函数中三角形的存在性问题

解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算

三、精讲精练

1.由动点产生的等腰三角形问题

（扬州）如图，抛物线y＝ax＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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备用图

2.由动点产生的直角三角形问题

（攀枝花）如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A（-3，0），B（1.0），C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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备用图

3.由动点产生的等腰直角三角形

例. （东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax-ax-2经过点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、实战演

1.．（2012临沂）26如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC.

（1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．