江西省南昌大学附属中学2011届高三第13次月考试卷--数学(理)

江西省南昌大学附属中学2011届高三第13次月考试卷

2011.5.30

数学（理）

（总分：150分 时间：120分钟）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）

1．已知集U 1,2,3,4,5,A1,a1,5,CUA2,4，则a= （ ）A．3 B．4 C．5 D．6 2．复数zi在复平面内对应的点在 （ ） 2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1)， 曲线yx2经过点B.现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在 图中阴影区域的概率是 （ ） A．

1 2B．

1 4C．

4．函数ysin(2x)(0的

值为 （ ） A．

12D．

3 5

第3题

)图像的一条对称轴在(,)内，则满足此条件的一个263 12B．

 C． 63D．

5 125．右图是一个算法的流程图，输出的S=（ ）

A.24 B. 25 C.26 D. 27 6．下列命题中，正确的命题有 （ ） （1）y1是幂函数；

（2）用相关指数r来刻画回归效果，r越接近0，说明模型的

拟合效果越好；

（3）命题“对任意xR，有cosx1”的否定是“存在x0R，

使cosx01”；

（4）回归直线一定过样本中心(x,y)；

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（5）设随机变量服从正态分布N(0,1)，若P(1)p，则P(10)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．已知函数yf(x)的定义域为(4a3,32a2)，且yf(2x3)为偶函数，则实数a的

值为 （ ） A．3或－1 B．－3或1 C．1 D．－1

8．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体

A C

的面AA1C1C上的正投影是 （ ）

O1 1p． 2

A. B. C. D.

A1 O2 B1

C1

第8题

9．定义在R上的函数f(x)满足：对任意,R，总有f()[f()f()]2008， 则下列说法正确的是 （ ） A.f(x)1是奇函数 B.f(x)1是奇函数 C. f(x)2008是奇函数 D. f(x)2008是奇函数

10．已知数列an(nN)满足：anlogn1(n2) (nN*)，定义使a1a2a3......ak

*为整数的数k (kN)叫做企盼数，则区间[1, 2011]内所有的企盼数的和为（ ）

A.1001 B. 2030 C.2026 D. 2048

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．若(ax1)的展开式中x的系数是80，则实数a的值是 ． 12．若数列an满足a11，且

53111，则an ． an1an3131（-,）（-,-）13．已知向量a= (0,1)，b=, c=，且 xaybzc (1，1 )， 2222第 2 页 共 9 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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则x2y2z2的最小值为 ．

14.在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |x2＋y2≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}所表示的区域的面积为 ．

15．（本大题共2个小题，任选一题作答.若做两题，则按所做的第（1）题给分，共5分） （1）（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos关于直线程为 .

（2）（不等式选做题）在区间[t,t1]上满足不等式|x33x1|1的解有且只有一个，则

实数t的取值范围为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．B，C的对边分别为a，b，c，（本小题12分）设△ABC三个角A，向量p(a,2b)，q(sinA,1)，

且p//q． （1）求角B的大小；

（2）若△ABC是锐角三角形，m(cosA,cosB),n(1,sinAcosAtanB)，求mn的取值范围．

17. （本小题12分）在3.11日本大地震后对福岛核电站的抢险过程中，海上自卫队准备用

射击的方法引爆从海上游漂流过来的一个大型汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中

只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互的，且命中的概率都是（1）求油罐被引爆的概率；

（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为．求的分布列及E．（结果用分数表示）

18．（本小题满分12分） 一个多面体的直观图和三视图如图所示 （1）求证:PABD；

（2）是否在线段PD上存在一Q点,使二面角QACD的平面角为30，设4对称的曲线的极坐标方

2． 3DQ，DP若存在，求；若不存在，说明理由

P 第 3 页 共 9 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 27A B

77 7金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

19．（本题满分12分）设函数f(x)xaex1. （1）求函数f(x)单调区间；

（2）若f(x)0对xR恒成立，求a的取值范围；

x2y21的左右两个顶点，一条动弦垂直 20．（本题满分13分）已知A1,A2为双曲线C：2于x 轴，且与双曲线交于不同的两点P,Q（P点位于x轴的上方），直线A1P与直线

A2Q相交于点M.

（1）求动点M的轨迹方程

（2）设点N(2,0)，过点N的直线交于M点的轨迹上半部分于A,B两点,且满足

11NANB,其中,，求出直线AB斜率的取值范围.

53

21．（本小题14分）已知数列an的相邻两项an,an1是f(x)x22nxbn(nN)的

两个不同的零点，且a11. （1）求证：数列an1n2是等比数列； 3（2）设Sn是数列an的前n项和，求Sn；

（3）问是否存在常数k，使得bnkSn，对任意的nN都成立？若存在，求出k的

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取值范围；若不存在，请说明理由.

答 案

一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 B 9 D 10 C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 2 12. an14 13． n314．18

分析：如图所示，点集Q是由三段圆弧以及连接它们的三条切线围成的区域，其面积为：

SOPQ＋SOABP＋SPCDQ＋SOFEQ＋

＝

1×4×3＋(3＋4＋5)×1＋＝18＋． 215．（1）2sin （2）(0,31) 三、解答题（本大题6小题，共75分）

16．解 :（1）∵ p(a,2b)，q(sinA,1)，p//q，

∴ a－2bsinA = 0，由正弦定理得 sinA－2sinB sinA = 0． …………………… 3分

51∵ 0＜A，B，C＜，∴ sinB，得 B或B． …………………… 6分

626（2）∵ △ABC是锐角三角形，∴ Bm(cosA,6，

33),n(1,sinAcosA)， 233313sinA=sin(A)．………9分 (sinAcosA)=cosA62223555C(,)． 及 0＜C＜，得 A由 ACB663622结合0＜A＜，∴ A，得 A，

322632于是 mncosA∴

33sin(A)1，即 mn1．………………………………………12分 262第 5 页 共 9 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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17(1).设命中油罐的次数为X,则当X0或X1时,油罐不能被引爆.21P(X0)(1)5,324322101P(X1)C5(1)4,33243油罐被引爆的概率P1P(X0)P(X1)(2)射击次数的取值为2,3,4,5.224P(2),33922281P(3)C2(1),33327

222241P(4)C3(1),33327P(5)1P(2)P(3)P(4)48411().927279因此,的分布列为:

232.(4分)243ξ P 2 3 4 5 841 27279484179E2345.(12分)

9272792718．解：（1）由三视图可知PABCD为四棱锥,底面ABCD为正方形, 且PAPBPCPD，连接AC,BD交于点O,连接PO，

因为BDAC,BDPO,所以BD平面PAC，即BDPA； ……………………6分 （2）由三视图可知,BC2,PA22,假设存在这样的D点

因为ACOQ,ACOD,所以DOQ为二面角QACD的平面角………………8分

4 9PDO中,PD22,OD2,则PDO60,

DQO中, PDO60,且QOD30.所以DPOQ,

所以OD2,QD2…………………………………………………………………11分 2DQ1= ……………………………………………………………………………… 12分 DP4x119．解：（1）f(x)1ae ……………………………………………………………1分 当a0时，f(x)0，f(x)在R上是增函数…………………………………………2分

第 6 页 共 9 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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当a0时，令f(x)0得x1lna…………………………………………………3分 若x1lna则f(x)0，从而f(x)在区间(,1lna)上是增函数 若x1lna则f(x)0，从而f(x)在区间(1lna,)上是减函数

综上可知：当a0时，f(x)在区间(,)上是增函数.当a0时，

在区间(,1lna)上是增函数，f(x)在区间(1lna,)上是减函数 ……………6分 （2）由（I）可知：当a0时，f(x)0不恒成立 ……………………………………7分 又当a0时，f(x)在点x1lna处取最大值，

且f(1lna)1lnaaelnalna……………………………………………………10分 令lna0得a1，故若f(x)0对xR恒成立，则a的取值范围是1,……12分 20．（1）解：（1）设P(x0,y0),Q(x0,y0)，A1(2,0),A2(2,0). 直线A1P的方程为：

yx2yx2 ① 直线A2Q的方程为： ② y0x02y0x02x02y2x222y将①②得到：，又因为01. 222y0x02x2y21（y0）……………………………………6分 所以得到M的轨迹方程为：2（2）NANB,A,B,N三点共线，而点N的坐标为（－2，0）. 设直线AB的方程为yk(x2)，其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0.

yk(x2),12k2124222yy20. 由x消去x得(y2)2y2，即22kkky12422k210,2()82根据条件可知 解得0|k|. kk2k0,4kyy,1222k1设A(x1,y1),B(x2,y2)，则根据韦达定理，得 2yy2k.122k21又由NANB,得(x12,y1)(x22,y2)

4k(1)y,22x12(x22),(1)282k1y得. 从而 消去2222k1y1y2.y22k.22k21第 7 页 共 9 页 金太阳新课标资源网

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令()由于

(1)2111121,[,],，则()(2)12. 2531111，所以()0.()是区间[,]上的减函数， 5353111636()从而()()()，即，

35351683616836212，2，解得|k|， 32k1532k1562而0k22121，k.故直线AB的斜率的取值范围是[,].…………13分 262 6221.（1）证明：因为an，an1是函数f(x)x22nxbn(nN)的两个不同的零点，所以的两根，则an+an1=2n,anan1bn…3an，an1是关于x的方程x22nxbn=0(nN）分

11an12n12nan2n133因=1， 1n1nan2an233故an2是首项为（2）an213n1，公比为-1的等比数列. …………………………………5分 313n11(1)n1，即an[2n(1)n] …………………………………7分 332111n1(1)n1n2n]…9分 则Sn[(222)[(1)(1)(1)][22333212n1[2(2)n1]， 912n11n1kn1(1)n1nn[2(2)1](21)(21)[22] （） 9932对任意的nN都成立. …………………………………………………………………11分

1n1kn11nn① 当n为正奇数时，由（）得(21)(21)(21)0，所以k(21)

9331n对一切正奇数n都成立，当且仅当n=1时，(21)有最小值1，所以k1. ………12分

31n12knn(21)0， ② 当n为正偶数时，由（）得(21)(21)931n11n13所以k(21)对一切正偶数n都成立，当且仅当n=2时，(21)有最小值，

6623所以k. …………………………………………………………………………………13分

2（3）bn=anan1第 8 页 共 9 页 金太阳新课标资源网

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所以，存在k使bnkSn对任意的nN都成立，且k(,1).……………………14分 

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