SVD

SVD

对实数浮点矩阵进行奇异值分解

void cvSVD( CvArr* A, CvArr* W, CvArr* U=NULL, CvArr* V=NULL, int flags=0 );

A

M×N 的输入矩阵

W

结果奇异值矩阵 (M×N 或者 N×N) 或者 向量 (N×1).

U

可选的左部正交矩阵 (M×M or M×N). 如果 CV_SVD_U_T 被指定， 应该交换上面所说的行与列的数目。

V

可选右部正交矩阵(N×N)

flags

操作标志； 可以是 0 或者下面的值的组合:

• CV_SVD_MODIFY_A 通过操作可以修改矩阵 src1 。这样处理速度会比较快。
• CV_SVD_U_T 意味着会返回转置矩阵 U ，指定这个标志将加快处理速度。
• CV_SVD_V_T 意味着会返回转置矩阵 V ，指定这个标志将加快处理速度。

函数 cvSVD 将矩阵 A 分解成一个对角线矩阵和两个正交矩阵的乘积：

这里 W 是一个奇异值的对角线矩阵，它可以被编码成奇异值的一维向量，U 和 V 也是一样。 所有的奇异值都是非负的并按降序存储。（U 和 V 也相应的存储）。

SVD 算法在数值处理上已经很稳定，它的典型应用包括：

• 当 A 是一个方阵、对称阵和正矩阵时精确的求解特征值问题，例如, 当 A 时一个协方差矩阵时。在这种情况下 W 将是一个特征值的的向量，并且 U=V是矩阵的特征向量(因此，当需要计算特征向量时 U 和 V 只需要计算其中一个就可以了) 。
• 精确的求解病态线性系统。
• 超定线性系统的最小二乘求解。上一个问题和这个问题都可以用指定 CV_SVD 的 cvSolve 方法。
• 精确计算矩阵的不同特征，如秩(非零奇异值的数目), 条件数(最大奇异值和最小奇异值的比例), 行列式值(行列式的绝对值等于奇异值的乘积).上述的所有这些值都不要求计算矩阵 U 和 V 。

SVBkSb

奇异值回代算法（back substitution）

void  cvSVBkSb( const CvArr* W, const CvArr* U, const CvArr* V,
                const CvArr* B, CvArr* X, int flags );

W

奇异值矩阵或者向量

U

左正交矩阵 (可能是转置的)

V

右正交矩阵 (可能是转置的)

B

原始矩阵 A 的伪逆的乘法矩阵。这个是可选参数。如果它被省略则假定它是一个适当大小的单位矩阵(因此 x 将是 A 的伪逆的重建).。

X

目标矩阵: 奇异值回代算法的结果

flags

操作标志, 和刚刚讨论的 cvSVD 的标志一样。

函数 cvSVBkSb 为被分解的矩阵 A 和矩阵 B 计算回代逆（back substitution） (参见 cvSVD 说明) :

X=V*W-1*UT*B

这里

W-1(i,i)=1/W(i,i) 如果 W(i,i) > epsilon•sumiW(i,i),

否则:0.

epsilon 是一个依赖于矩阵数据类型的的很小的数。该函数和 cvSVD 函数被用来执行 cvInvert 和 cvSolve, 用这些函数 (svd & bksb)的原因是初级函数（low-level） 函数可以避免高级函数 (inv & solve) 计算中内部分配的临时矩阵。